Uchburchak

Uchburchak

Uchburchak  – bir toʻgʻri chiziqda yotmagan uchta nuqta va uchlari shu nuqtalarda boʻlgan uchta kesmadan yasalgan figura. Uchburchakni yasovchi uchta nuqta uchburchakning uchlari, uchlarini tutashtiruvchi kesmalar uchburchakning tomonlari, tomonlari orasidagi uchta burchak uchburchakning burchaklari deyiladi.

Uchburchakda faqat bitta toʻgʻri yoki oʻtmas burchak boʻladi (chunki uchburchakning ichki burchaklari yigʻindisi 180° yoki $\pi$ ga teng).

Uchburchakning istalgan tomoni uzunligi qolgan ikki tomon uzunliklari yigʻindisidan kichik, ayirmasidan esa kattadir.

Uchburchaklarning koʻpgina boshqa xossalarini trigonometriya, sferik geometriya, sferik trigonometriya va boshqa sohalarda oʻrganiladi.

Uchburchak uning uchlarini koʻrsatish orqali ifodalanadi. Misol uchun, A, B va C nuqtalarni tutashtirishdan hosil bo'luvchi uchburchak $\triangle$ABC kabi belgilanadi.

Uchburchak turlari

Uchburchak tomonlarining uzunligiga koʻra, uch xil boʻladi:

• Teng tomonli uchburchak – barcha tomonlari teng boʻlgan uchurchak. Uning hamma ichki burchaklari 60°dan.
• Teng yonli uchburchak – ikkita tomoni teng boʻlgan uchburchak. Asosidagi burchaklari o'zaro teng.
• Turli tomonli uchburchak – uchala tomoni uzunliklari turlicha boʻlgan uchburchak. Hech qaysi burchaklari bir-biroviga teng emas

Teng tomonli (muntazam) uchburchak	Teng yonli uchburchak	Turli tomonli uchburchak

Uchburchak burchaklarining kattaliklariga koʻra uch xil boʻladi:

• To'g'ri burchakli uchburchak – burchaklaridan biri 90° boʻlgan uchburchak. Toʻgʻri burchakli uchburchakning toʻgʻri burchagi qarshisida yotuvchi tomoni gipotenuza, qolgan ikki tomoni katetlari deb ataladi.
• O'tmas burchakli uchburchak – bitta va faqat bitta burchagi 90°dan katta (o'tmas) boʻlgan uchburchak.
• O'tkir burchakli uchburchak – barcha burchaklari 90°dan kichkina (o'tkir) boʻlgan uchburchak.

To'g'ri burchakli uchburchak	O'tkir burchakli uchburchak	O'tmas burchakli uchburchak

Asosiy xossalari

Uchburchak ixtiyoriy tashqi burchagi o'ziga qo'shni bo'lmagan ichki burchaklar yig'indisiga teng

• uchburchak ichki burchaklari yigʻindini 180° ga teng
• uchburchakning tashqi burchagi oʻziga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklar yigʻindisiga teng
• uchburchak tashqi burchaklari yig'indisi 360° ga teng

Yuzini hisoblash

Tomon va unga tushirilgan balandlik orqali uchburchak yuzasini topish

Uchburchak yuzasini tomon va shu tomonga tushirilgan balandlik orqali topish

Uchburchak yuzini hisoblashning bir necha usulllari mavjud. Bularning ichida eng soddasi ushbu formula orqali topishdir: $\mathrm {S} ={\frac {ah}{2}}$

Bu yerda S – uchburchak yuzi, a – uchburchak tomoni, h - o'sha tomonga tushirilgan balandlik

Geron formulasi yordamida uchburchak yuzasini hisoblash

Uchburchak yuzini topishda Geron formulasidan ham foydalaniladi. Geron formulasidan faqat uchburchak uchala tomoni aniq boʻlgandagina foydalanish mumkin. Geron formulasi quyidagicha:

$\mathrm {S} ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Bu yerda $p={\frac {a+b+c}{2}}$ ga teng (uchburchak yarimperimetri) , $a,b,c$ – uchburchak tomonlari uzunligi.

Geron formulasi yozilishining yana 2 ta ekvivalent yoʻli bor:

$\mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$\mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$\mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$

Burchak sinusi yordamida uchburchak yuzasini hisoblash

Tomonlari a,b,c va burchaklari α,β,γ bo'lgan uchburchak

Uchburchak yuzini berilgan ixtiyoriy ikki tomoni va ular orasidagi burchagi boʻyicha hisoblash mumkin. Yaʼni quyidagi formula orqali: $\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta$. Bu yerda a, b, c – uchburchak tonomlari, α,β,γ – uchburchak tonomlari orasidagi burchagi.

Medianalar orqali uchburchak yuzasini hisoblash

Uchburchak tomonlariga tushirilgan uchala mediana ma'lum boʻlganda quyidagi formula orqali uchburchak yuzi hisoblanadi:

$\mathrm {S} ={\frac {4}{3}}{\sqrt {m(m-m_{a})(m-m_{b})(m-m_{c})}}$

Bu yerda $m={\frac {m_{a}+m_{b}+m_{c}}{2}}$, $m_{a},m_{b},m_{c}$ – mos ravishda uchburchakning a,b,c tomonlariga tushirilgan medianalar

Uchburchaklar tengligi va o'xshashligi

Uchburchaklar tengligining uch xil alomati mavjud:

• Uchburchaklar tengligining TTT alomati - Bir uchburchakning barcha tomonlari ikkinchi uchburchakning barcha tomonlariga mos ravishda teng bo'lsa, ikkita uchburchak o'zaro teng deyiladi
• Uchburchaklar tengligining TBT alomati - Bir uchburchak ikki tomoni va ular orasidagi burchak, ikkinchi uchburchak mos ikkita tomoni va ular orasida burchakka teng bo'lsa, bu uchburchaklar o'zaro teng deyiladi
• Uchburchaklar tengligining BTB alomati - Bir uchburchakning ikki burchagi va ular orasidagi tomon, ikkinchi uchburchakning mos ikki burchagi va ular orasidagi tomonga teng bo'lsa, bu uchburchaklar o'zaro teng deyiladi.

Oʻxshash uchburchakning mos burchaklari teng, mos tomonlari esa proporsional boʻladi. Ikki oʻxshash uchburchak tomonlari nisbati o'xshashlik koeffitsientiga, yuzlari nisbati esa uning kvadratida teng.

Uchburchaklar o'xshashligining alomatlari

• Uchburchaklar oʻxshashligining BB alomati:Agar bir uchburchakning ikkita burchagi ikkinchi uchburchakning ikkita burchagiga mos ravishda teng boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.
• Uchburchak oʻxshashligining TBT alomati: Agar bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga proporsional va bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.
• Uchburchaklar oʻxshashligining TTT alomati: Agar bir uchburchakning uchta tomoni ikkinchi uchburchakning uchta tomoniga mos ravishda proporsional boʻlsa, bunday uchburchaklar oʻxshash boʻladi.

Havolalar

• Uchburchak kalkulyatori- uchburchakning uchta tomoni va burchagi berilganda, qolgan burchak va tomonlarini hisoblaydi.