O‘zgaruvchan massa tizimi

Parvoz paytida yoqilgʻi sifatida katta miqdordagi massani yoʻqotadigan raketalar oʻzgaruvchan massali tizimga misoldir.

Mexanikada oʻzgaruvchan massa tizimi — bu massasi vaqt oʻtishi bilan oʻzgarib turadigan moddalar toʻplami. Nyutonning ikkinchi harakat qonunini toʻgʻridan-toʻgʻri bunday tizimga qoʻllashga urinish chalkash boʻlishi mumkin . Buning oʻrniga, m massasining vaqtga bogʻliqligini Nyutonning ikkinchi qonunini qayta tartibga solish va tizimga kirish yoki undan chiqish paytida olib boriladigan impulsni hisobga olish uchun muddat qoʻshish orqali hisoblash mumkin. Oʻzgaruvchan massali harakatning umumiy tenglamasi quyidagicha yoziladi:

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}$

bu yerda F_ext — jismga beriladigan aniq tashqi kuch, v_{rel -} chiqib ketayotgan yoki kiruvchi massaning jismning massa markaziga nisbatan nisbiy tezligi, v — jismning tezligi. Raketalar mexanikasi bilan shugʻullanadigan astrodinamikada v_rel atamasi koʻpincha samarali egzoz tezligi deb ataladi va v_bilan belgilanadi.

Chiqarilishi

Massaning jismga kirishi yoki chiqishiga (boshqacha qilib aytganda, harakatlanuvchi jismning massasi mos ravishda ortib yoki kamayib borayotganiga) qarab, oʻzgaruvchan massali sistemaning harakat tenglamasi uchun turli hosilalar mavjud. Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun barcha jismlar zarralar sifatida qabul qilinadi. Bundan tashqari, massa toʻplanish/ablasyon hodisalaridan tashqari tanaga tashqi kuchlarni qoʻllashga qodir emas deb taxmin qilinadi.

Massaning kamayishi

1 lahzada tezligi u boʻlgan dm massa m massali va v tezlikli asosiy jism bilan toʻqnashmoqchi. dt vaqtdan soʻng, 2 lahzada ikkala zarracha ham bir jism sifatida v+dv tezlik bilan harakatlanadi.

Quyidagi hosila massa ortib borayotgan jism uchun (akkretsiya). Vaqt oʻzgaruvchan massasi m boʻlgan jism t boshlangʻich vaqtida v tezlikda harakat qiladi. Xuddi shu lahzada dm massali zarra erga nisbatan u tezlik bilan harakat qiladi. Dastlabki impulsni shaklida yozish mumkin.

$\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m$

Endi t + dt vaqtida asosiy jism ham, zarracha ham v + dv tezlikli jismga toʻplansin. Shunday qilib, tizimning yangi impulsi quyidagicha yozilishi mumkin

$\mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v}$

dm dv ikkita kichik qiymatning koʻpaytmasi boʻlgani sababli, uni eʼtiborsiz qoldirish mumkin, yaʼni dt davomida tizimning impulsi oʻzgaradi.

$\mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m)=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m$

Shuning uchun Nyutonning ikkinchi qonuni bilan

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-(\mathbf {u} -\mathbf {v} ){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}$

u — v dm ning m ga nisbatan tezligi boʻlib, v_rel bilan ifodalanganligini taʼkidlab, bu yakuniy tenglamani kabi tartibga solish mumkin.

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}$

Massaning oʻzgarishi

Massa asosiy tanadan chiqarib yuborilayotgan yoki olib tashlangan tizimda hosila biroz boshqacha boʻladi. t vaqtda m massasi v tezlikda harakatlansin, yaʼni sistemaning dastlabki impulsi

$\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v}$

Agar u oʻchirilgan massaning yerga nisbatan tezligi dm deb faraz qilsak, t + dt vaqtda sistemaning impulsi boʻladi.

$\mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m-\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )+\mathbf {u} \mathrm {d} m=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m-\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m$

bu yerda u - chiqarilgan massaning erga nisbatan tezligi va manfiy, chunki ablatsiyalangan massa massaga qarama-qarshi yoʻnalishda harakat qiladi. Shunday qilib, dt davomida tizimning impulsi oʻzgaradi

$\mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathbf {u} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} )=m\mathrm {d} \mathbf {v} +[\mathbf {u} -(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )]\mathrm {d} m$

Olingan massaning m massaga nisbatan nisbiy tezligi v_rel quyidagicha yoziladi.

$\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }=\mathbf {u} -(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )$

Shuning uchun impulsning oʻzgarishi quyidagicha yozilishi mumkin

$\mathrm {d} \mathbf {p} =m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m$

Shuning uchun Nyutonning ikkinchi qonuni bilan

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}$

Shuning uchun yakuniy tenglamani quyidagicha tartibga solish mumkin

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }-\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}$

Shakllari

Qoʻyib yuborilganda, bu raketa shari oʻz massasining katta qismini havo sifatida chiqarib yuboradi va bu katta tezlashuvga olib keladi.

Tezlanishning taʼrifi boʻyicha a = dv /dt, shuning uchun oʻzgaruvchan massali tizim harakat tenglamasini quyidagicha yozish mumkin.

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a}$

Zarrachalar sifatida qaralmaydigan jismlarda a_sm ga almashtirilishi kerak, sistemaning massa markazining tezlanishi, yaʼni

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }$

Koʻpincha surish natijasida kelib chiqadigan kuch sifatida aniqlanadi $\mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}$ Shuning uchun quyidagi natijani olamiz:

$\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }$

Bu shakl jismga hech qanday tashqi kuchlar taʼsir qilmasa ham surish taʼsirida tezlashishi mumkinligini koʻrsatadi (F_ext = 0). Nihoyat, shuni yodda tutingki, agar F_net bu F_ext va F_surish yigʻindisi boʻlsa, tenglama Nyutonning ikkinchi qonunining odatiy shakliga qaytadi:

$\mathbf {F} _{\mathrm {net} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }$

Ideal raketa tenglamasi

Raketa massasi nisbati raketa tenglamasidan hisoblangan yakuniy tezlikga nisbatan

Ideal raketa tenglamasi yoki Tsiolkovskiy raketa tenglamasi raketa kabi harakat qiladigan transport vositalarining harakatini oʻrganish uchun ishlatilishi mumkin (bu yerda jism oʻz massasining bir qismini, propellantni yuqori tezlikda chiqarib yuborish orqali tezlashadi). Uni oʻzgaruvchan massali tizimlar uchun harakatning umumiy tenglamasidan quyidagicha olish mumkin: jismga tashqi kuchlar taʼsir qilmasa (F_ext = 0) oʻzgaruvchan massali tizimning harakat tenglamasi quyidagiga kamayadi.

$\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}$

Agar otilgan yoqilgʻining tezligi v_rel raketaning tezlanishiga qarama-qarshi yoʻnalishga ega deb hisoblansa, dv / dt, bu tenglamaning skalyar ekvivalentini quyidagicha yozish mumkin.

$-v_{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}$

shunday dt berishni bekor qilish mumkin

$-v_{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m=m\mathrm {d} v\,$

Oʻzgaruvchilarni ajratish orqali integratsiya beradi

$-v_{\mathrm {rel} }\int _{m_{0}}^{m_{1}}{\frac {\mathrm {d} m}{m}}=\int _{v_{0}}^{v_{1}}\mathrm {d} v$

$v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=v_{1}-v_{0}$

Δv = v₁ — v₀ ni qayta tartibga solish va ruxsat berish orqali ideal raketa tenglamasining standart shakliga erishiladi:

$\Delta v=v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$

bu yerda m₀ — boshlangʻich umumiy massa, shu jumladan propellant, m₁ — yakuniy umumiy massa, v_rel — samarali egzoz tezligi (koʻpincha v_e deb belgilanadi) va Δv — avtomobil tezligining maksimal oʻzgarishi boʻlmaganda tashqi kuchlar harakat qiladi).