Guruh-sxema harakati

Algebraik geometriyada guruh sxemasining harakati guruh sxemasiga guruh harakatining umumlashtirilishi hisoblanadi. Aniqrogʻi, S -sxema G guruhi berilgan boʻlsa, S -sxema X boʻyicha G ning chap harakati S -morfizm boʻladi.

\sigma :G\times _{S}X\to X

shu kabi

(assotsiativlik) $\sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})$ , esa $m:G\times _{S}G\to G$ bu guruh qonunidir,
(birlik) $\sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}$ , esa $e:S\to G$ G ning identifikatsiya qismidir.

G ning X ga toʻgʻri harakati shunga oʻxshash tarzda aniqlanadi. G guruh sxemasining chap yoki oʻng harakati bilan jihozlangan sxema G — sxemasi deb ataladi . G -sxemalar orasidagi ekvivariant morfizm — bu tegishli G -harakatlarni oʻzaro bogʻlaydigan sxemalar morfizmi boʻladi .

Umuman olganda, guruh funktorining harakatini (hech boʻlmaganda baʼzi bir alohida holatni) ham koʻrib chiqish mumkin: G funktor sifatida qaralsa, harakat yuqoridagiga oʻxshash shartlarni qondiradigan tabiiy transformatsiya sifatida beriladi^[1]. Shu bilan bir qatorda, baʼzi mualliflar guruh harakatini groupoid tilida ham oʻrganadilar; guruh-sxema harakati keyin bir groupoid sxemasi misol boʻla oladi.

Konstruktsiyalar

Guruh harakati uchun odatiy konstruktsiyalar, masalan, orbitalar guruh sxemasi harakati uchun umumlashtiriladi. Mayli $\sigma$ yuqoridagi kabi berilgan guruh-sxema harakati boʻlsin. Shunday qilib

T-qiymatli nuqta berilgan $x:T\to X$ , orbita xaritasi $\sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T$ sifatida beriladi $(\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})$ .
X ning orbitasi orbita xaritasining tasviridir yani $\sigma _{x}$ .
X ning stabilizatori tolaning ustidadir $\sigma _{x}$ xaritasidan $(x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.$

Boʻlimni qurish muammosi

Guruhning nazariy harakatidan farqli oʻlaroq, guruh sxemasi harakati uchun qismni yaratishning toʻgʻridan-toʻgʻri usuli yoʻq. Istisnolardan biri — bu harakat erkin boʻlgan holat, asosiy tolalar toʻplami boʻladi .

Ushbu qiyinchilikni engish uchun bir nechta yondashuvlar ham mavjud:

Darajali tuzilma — Ehtimol, eng qadimgi, yondashuv ob’ektni darajali tuzilma bilan birga ob’ekt bilan tasniflash uchun ob’ektni almashtiradi.
Geometrik oʻzgarmas nazariya — yomon orbitalarni tashlanadi va keyin bir qismi olinadi. Kamchilik shundaki, „yomon orbitalar“ tushunchasini kiritishning kanonik usuli yoʻq; tushunchasi lineerleştirme tanlash bogʻliq. Shuningdek qarang: kategorik koʻrsatkich, GIT koʻrsatkichi boʻladi.
Borel konstruktsiyasi — bu algebraik topologiyaga asoslangan yondashuv; bu yondashuv cheksiz oʻlchamli fazo bilan ishlashni talab qiladi.
Analitik yondashuv, Teichmyuller fazosi nazariyasi.
Quotient stack — qaysidir maʼnoda bu muammoning yakuniy javobidir. Taxminan, „koʻrsatkichlar toʻplami“ — bu orbitalar toifasi va uni bitta stackifikatsiya qilish (yaʼni, torsor tushunchasini kiritish).

Ilovalarga qarab, yana bir yondashuv fokusni boʻsh joydan, keyin boʻshliqdagi narsalarga oʻtkazishdir; masalan, topos . Shunday qilib, muammo orbitalarning tasnifidan ekvivariant ob’ektlarning tasnifiga ham oʻtadi.

Yana qarang

guruhoid sxemasi
Sumixiro teoremasi
ekvivariant boʻlak
Borelning sobit nuqta teoremasi

Manbalar

↑ In details, given a group-scheme action $\sigma$ , for each morphism $T\to S$ , $\sigma$ determines a group action $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; i.e., the group $G(T)$ acts on the set of T-points $X(T)$ . Conversely, if for each $T\to S$ , there is a group action $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

Mumford, David. Geometric invariant theory, 3rd, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. ISBN 978-3-540-56963-3.

[1] In details, given a group-scheme action $\sigma$ , for each morphism $T\to S$ , $\sigma$ determines a group action $G(T)\times X(T)\to X(T)$ ; i.e., the group $G(T)$ acts on the set of T-points $X(T)$ . Conversely, if for each $T\to S$ , there is a group action $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ and if those actions are compatible; i.e., they form a natural transformation, then, by the Yoneda lemma, they determine a group-scheme action $\sigma :G\times _{S}X\to X$ .

[1]